	
\documentclass{article} % 文档类别: article, report, book, letter, 等等
\usepackage{ctex}
\usepackage{tikz}
\title{模形式第一讲}
\author{阿路}
\date{\today} % 使用当前日期，也可以指定特定日期

\usepackage{amsmath}
\usepackage{amsfonts}
\begin{document}
	
	\maketitle % 创建标题页
	modular group, congruence subgroup and modular forms
	\section{modular group}
	modular group是在乘法意义下的2X2矩阵。
	
 $\mathrm{SL}_2(\mathbb{Z}) = modular group $ (模群)

  
  模群(modular group)是一个数学概念，它是指在拓扑空间中，由一些元素按照一定的规则组合而成的一个群。模群的定义是：对于任意两个元素h和kh,如果它们之间存在一个逆元素hk,那么它们就构成了一个模群。 例如，
  
  $SL_2(\mathbb{Z})=\{\left[\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right],a,b,c,d\in \mathbb{Z},det=1\}$
  
  就是一个模群。其中元素对乘法保持封闭。
\\
	\section{congruence subgroup}

水平 \(N\) 主同余子群（Principal Congruence Subgroup of Level \(N\)）是指模群 \(\text{SL}_2(\mathbb{Z})\)（即行列式为1的2x2整数矩阵组成的群）的一个特定类型的子群。这些子群是通过考虑模群对整数模 \(N\) 的同余关系来定义的。

具体来说，对于一个正整数 \(N\)，水平 \(N\) 的主同余子群记作 \(\Gamma(N)\)，定义为：
\[
\Gamma(N) = \left\{ \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \in \text{SL}_2(\mathbb{Z}) : \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \equiv \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \mod N \right\}
\]
这意味着矩阵中的元素 \(a, b, c, d\) 满足以下条件：

 \(a \equiv 1 \mod N\)

\(b \equiv 0 \mod N\)

 \(c \equiv 0 \mod N\)

 \(d \equiv 1 \mod N\)

换句话说，\(\Gamma(N)\) 包含了所有那些当其元素被 \(N\) 除后余数形成单位矩阵的矩阵。这些子群在模形式理论、代数几何以及数论的其他分支中有重要的应用。

例如，当 \(N=2\) 时，\(\Gamma(2)\) 是由所有形如 \(\begin{pmatrix} 1+2k & 2l \\ 2m & 1+2n \end{pmatrix}\) 的矩阵组成，其中 \(k, l, m, n\) 是整数，并且矩阵的行列式为1。


\[
\Gamma(1) = \text{SL}_2(\mathbb{Z}) 
\]

\[
 \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \in \Gamma(N) \Rightarrow \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \equiv \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \mod N 
\]

Definition 1  	\( \Gamma \) is a congruence subgroup if
\[
\Gamma(N) < \Gamma < \text{SL}_2(\mathbb{Z})
\]

Example \(\forall N \in \mathbb{Z}^+\)

\(
	\Gamma_0(N) = \left\{ \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \in \text{SL}_2(\mathbb{Z}) : c \equiv 0       \ (mod \ N ) \right\}
\)


\(
\Gamma_1(N) = \left\{ \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \in \text{SL}_2(\mathbb{Z}) : \begin{tabular}{l}
	\( a \equiv d \equiv 1      \ (mod \ N )\) \\
	\( c \equiv 0      \ (mod \ N )\)
\end{tabular}
 \right\}
\)

are congruence subgroups



\[
\Gamma(N) < \Gamma_1(N) < \Gamma_0(N) <  \text{SL}_2(\mathbb{Z})
\]

	\section{modular group in complex plane}
模群在复数平面上的作用可以通过线性分数变换（也称为莫比乌斯变换或线性分式变换）来表示。具体来说，对于一个矩阵 \( \gamma = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \in \text{SL}_2(\mathbb{Z}) \)，它作用于复数 \( z \in \mathbb{C} \) 上的变换定义为：
\[
\gamma(z) = \frac{az + b}{cz + d}
\]


1. **保圆性**：这种变换保持圆和直线的性质，即将圆映射到圆或直线，将直线映射到圆或直线。

2. **保角性**：这种变换是保角的，即保持角度不变。

3. **保上半平面**：特别地，这种变换将复数的上半平面 \(\mathbb{H} = \{ z \in \mathbb{C} : \text{Im}(z) > 0 \}\) 映射到自身。


 例子
考虑矩阵 \( \gamma = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \)，它的作用是：
\[
\gamma(z) = \frac{1 \cdot z + 1}{0 \cdot z + 1} = z + 1
\]
这是一个平移变换，将每个点 \( z \) 向右移动1个单位。

再考虑矩阵 \( \gamma = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \)，它的作用是：
\[
\gamma(z) = \frac{0 \cdot z - 1}{1 \cdot z + 0} = -\frac{1}{z}
\]
这是一个关于原点的倒数变换。

一般形式 \
对于一般的矩阵 \( \gamma = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \)，变换可以写为：
\[
\gamma(z) = \frac{az + b}{cz + d}
\]
\subsection{模群在上半平面}
将复数变量 \( z \) 替换为 \( \tau \)（通常在模形式理论中，\( \tau \) 代表上半平面中的复数），我们可以重新表述 \(SL_2(\mathbb{Z})\) 在复数平面上的线性变换。

 线性分数变换
对于矩阵 \( \gamma = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \in \text{SL}_2(\mathbb{Z}) \)，它作用于复数 \( \tau \) 上的变换定义为：
\[
\gamma(\tau) = \frac{a\tau + b}{c\tau + d}
\]

 例子
1. **平移变换**：
考虑矩阵 \( \gamma = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \)，它的作用是：
\[
\gamma(\tau) = \frac{1 \cdot \tau + 1}{0 \cdot \tau + 1} = \tau + 1
\]

2. **倒数变换**：
再考虑矩阵 \( \gamma = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \)，它的作用是：
\[
\gamma(\tau) = \frac{0 \cdot \tau - 1}{1 \cdot \tau + 0} = -\frac{1}{\tau}
\]

 一般形式
对于一般的矩阵 \( \gamma = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \)，变换可以写为：
\[
\gamma(\tau) = \frac{a\tau + b}{c\tau + d}
\]


\(\mathbb{H} = \{ \tau \in \mathbb{C} : \text{Im}(\tau) > 0 \}\)

Action of \(  \text{SL}_2(\mathbb{Z}) \) on \(\mathbb{H} \):

\[
	\left \{
	\begin{tabular}{l}
		\(
		 \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \in \text{SL}_2(\mathbb{Z}) 
		\) \\
		\( \tau \in \mathbb{H} \) \\
		Define \(
		\gamma(\tau) = \frac{a\tau + b}{c\tau + d}
		\)
	\end{tabular}
	\right \}
\]


为了证明 \( \gamma(\tau) = \frac{a\tau + b}{c\tau + d} \) 在复数的上半平面 \(\mathbb{H} = \{ \tau \in \mathbb{C} : \text{Im}(\tau) > 0 \}\) 内的点仍然在上半平面内，我们需要验证变换后的点的虚部仍然是正的。

步骤

1. **定义复数 \(\tau\) 和矩阵 \(\gamma\)**

设 \(\tau = x + iy\)，其中 \(x, y \in \mathbb{R}\) 且 \(y > 0\)。
设 \(\gamma = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \in \text{SL}_2(\mathbb{Z})\)，即 \(ad - bc = 1\)。

2. **计算变换后的点 \(\gamma(\tau)\)**
\[
\gamma(\tau) = \frac{a\tau + b}{c\tau + d}
\]

3. **计算变换后的点的虚部**


我们需要计算 \(\text{Im}(\gamma(\tau))\) 并验证它是否大于0。

4. **详细计算**
\[
\gamma(\tau) = \frac{a(x + iy) + b}{c(x + iy) + d} = \frac{(ax + b) + i(ay)}{(cx + d) + i(cy)}
\]

为了计算虚部，我们将分子和分母同时乘以分母的共轭：
\[
\gamma(\tau) = \frac{((ax + b) + i(ay))((cx + d) - i(cy))}{((cx + d) + i(cy))((cx + d) - i(cy))}
\]

分母部分：
\[
((cx + d) + i(cy))((cx + d) - i(cy)) = (cx + d)^2 + (cy)^2 = (cx + d)^2 + c^2 y^2
\]

分子部分：
\[
((ax + b) + i(ay))((cx + d) - i(cy)) = (ax + b)(cx + d) + (ax + b)(-icy) + (iay)(cx + d) + (iay)(-icy)
\]
\[
= (ax + b)(cx + d) - i(ax + b)cy + iay(cx + d) + ay^2 c
\]
\[
= (ax + b)(cx + d) + ay^2 c + i(ay(cx + d) - (ax + b)cy)
\]

将实部和虚部分开：
\[
\text{Re}(\gamma(\tau)) = \frac{(ax + b)(cx + d) + ay^2 c}{(cx + d)^2 + c^2 y^2}
\]
\[
\text{Im}(\gamma(\tau)) = \frac{ay(cx + d) - (ax + b)cy}{(cx + d)^2 + c^2 y^2}
\]

5. **简化虚部**
\[
\text{Im}(\gamma(\tau)) = \frac{ay(cx + d) - (ax + b)cy}{(cx + d)^2 + c^2 y^2}
\]
\[
= \frac{ay(cx + d) - ax cy - b cy}{(cx + d)^2 + c^2 y^2}
\]
\[
= \frac{ayd - bcy}{(cx + d)^2 + c^2 y^2}
\]
\[
= \frac{y(ad - bc)}{(cx + d)^2 + c^2 y^2}
\]

6. **利用行列式的性质**
由于 \(ad - bc = 1\)，我们有：
\[
\text{Im}(\gamma(\tau)) = \frac{y}{(cx + d)^2 + c^2 y^2}
\]

7. **验证虚部为正**
由于 \(y > 0\) 且 \((cx + d)^2 + c^2 y^2 > 0\)，我们得出：
\[
\text{Im}(\gamma(\tau)) = \frac{y}{(cx + d)^2 + c^2 y^2} > 0
\]

 结论
因此，对于任意 \(\tau \in \mathbb{H}\) 和任意 \(\gamma \in \text{SL}_2(\mathbb{Z})\)，变换后的点 \(\gamma(\tau)\) 仍然在上半平面 \(\mathbb{H}\) 内。
\subsection{证明$\gamma (\tau) $在上半平面}
简化后的证明，
\[
\gamma(\tau) = \frac{(a\tau + b)(c\bar{\tau} + d)}{\left| c\tau + d \right|^2}
=\frac{ac\left| \tau \right|^2 + bd + ad \tau + bc \bar{\tau}}{\left| c\tau + d \right|^2}
\]

\[\Rightarrow 
\text{Im}(\gamma(\tau)) = \frac{(ad - bc) \text{Im}\tau}{\left| c\tau + d \right|^2} > 0 \tag{1}
\]
\[
\Rightarrow
\gamma(\tau) \in \mathbb{H}
\]

\[
\left \{
\begin{tabular}{l}
	\(
	\gamma = 
	\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \Rightarrow \gamma \gamma^{\prime} = \begin{pmatrix} aa^{\prime} + bc^{\prime} & ab^{\prime} + bd^{\prime} \\ a^{\prime}c + b^{\prime}d & b^{\prime}c+dd^{\prime} \end{pmatrix}
	\) \\
	\(
\gamma^{\prime} = 
\begin{pmatrix} a^{\prime} & b^{\prime} \\ c^{\prime} & d^{\prime} \end{pmatrix} \Rightarrow \gamma ( \gamma^{\prime} (\tau)) = \gamma \gamma^{\prime}(\tau) \tag{2}
\) 
\end{tabular}
\right \}
\]
\section{Action of $\text{SL}_2(\mathbb{Z})$ on functions: $\mathbb{H} \rightarrow \mathbb{C} $ }


write 
\[\gamma = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \in \text{SL}_2(\mathbb{Z})\]
\\
\[
\tau \in \mathbb{H}
\]

\[
j(\gamma, \tau) = c\tau + d
\]

for $k \in \mathbb{Z} $ define,
\[
	[\gamma]_k = weight -k \  operator
\]

Action of $\text{SL}_2(\mathbb{Z})$ on functions: $\mathbb{H} \rightarrow \mathbb{C} $ 


such that, \[
(f[\gamma]_k)(\tau) = j(\gamma, \tau)^{-k}f(\gamma(\tau)) = (c\tau+d)^{-k}f( \frac{a\tau + b}{c\tau + d}) 
\]

\end{document}

